高校数学でできる二次曲線の線形代数

　この文書は、元々は、筆者が大学院生で出身高校の吹奏楽部に頻繁に顔を出していた1988年3月に、「ちょっとデキる生意気な後輩」にやらせてみようと思って書いてみたものである。元々は当時の低機能なワードプロセッサソフトで書いて、行列の括弧等は印刷後に手書きで書き足していたのだが、 1989年12月にTeX（L^aT_EXではなく Plain T_EX）で書き替えてみた。その出力を加工して行列表現のみを画像として抽出し、その他は単なるHTMLとして書き直したのが本稿である。 20年近くも放置していたのを突然公開したのには特に理由は無く、単に行列表現を画像として抽出する作業が、画像処理ソフトの使い勝手を試すサンプルに丁度良かったからに過ぎない。

　一応「高校数学でできる」とは銘打っているのは、必要な「予備知識」が高校数学で扱うレベルの内容だという意味である。話の流れを理解するために予め知っておいたら「便利」な概念は大学理工系の1年目で履修する線形代数で扱うものであり、高校では扱わない。従って、普通の高校生では話の流れに見通しが立たないであろう。しかし、そのような「概念」は力のある高校生なら自力で見出すことができるだろうと思う。

「２次曲線」という言葉の本来の意味は、２次式

ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0 …… (1) で表現できる曲線という意味である。高校のレベルではそのうちの極めて特殊なものしか扱わないが、実は平面上の２次曲線は、少数の例外を除いて高校で扱う形の楕円、放物線、双曲線のうちの何れかに合同である。ここで「少数の例外」とは例えば、

x² - y² = 0	：( x - y ) ( x + y ) = 0 と因数分解すればわかるように２直線の合併集合
x² + y² = -1	：空集合

のように、曲線の記述の為に本質的に２次式が必要でないものである。

A)

以上の事を次の手順で証明せよ。
1)

２次曲線 px² + qy² + rx + sy + t = 0 …… (2) を原点の回りにθだけ回転させて得られる曲線の方程式を求めよ。

2)

任意の２次曲線は原点の回りの適当な回転によって (2)の形の曲線になることを示せ。（ヒント：「任意の２次曲線」とは、即ち(1)式で表わされる曲線である）

3)

(2)式で表わされる種々の曲線を、 p, q が０であるかどうかで分類したうえ、各々適当な平行移動によって項の数を減らすことによって、係数の値がどのような場合にどのような曲線になるか考察せよ。

B)

(1)式が楕円、放物線、双曲線のうちの何れかであることがわかっているとき、この３つのうちの何れになるかは２次の係数 a , b , c のみで決まることを示せ。また、判定条件を求めよ。（ヒント：まず p , q で判定条件を考えよ。）

C)

（この設問は大学１回生レベルだが、落ち着いて考えれば高校の知識で充分できる）
1)

２×２行列Ｔ = $\pmatrix{\alpha & \beta \cr \gamma & \delta \cr}$ に対して、その成分が対角線について対称な行列 $\pmatrix{\alpha & \gamma \cr \beta & \delta \cr}$ のことをＴの転置行列と呼び、 ^tＴと書く。縦ベクトルの一次変換を表す行列がＴであるとき、横ベクトルに対して同じ一次変換を与える行列が ^tＴであることを示せ。

2)

^tＴの行列式（行列の判別式）はＴのそれに等しいことを示せ。

3)

横ベクトル ^tv = 、２×２行列Ｐ = $\pmatrix{a & b/2 \cr b/2 & c \cr}$ 、縦ベクトル v = $\pmatrix{x \cr y \cr}$ の積で (1)式の２次の部分を表現できることを示せ。また、(1)式全体を行列を使って書き換えよ。
注１：^tv は１×２行列であると考えることができ、それは２×１行列 v の転置行列と考えることができるので、２×２行列の転置行列と同じ記号を用いた。

注２：このような場合、 $\pmatrix{\alpha & \beta \cr \gamma & \delta \cr}$ のような表現を残しては、行列の記法を用いる意味が半減する。 v 、Ｐのような記号を必要なだけ定義し、その記号のみで表現するのがよい。

4)

B)で求めた判定条件を行列の言葉で言い換えよ。

5)

一次変換ｆが逆変換を持つということは、直線が必ず直線になるという素直な一次変換であることを意味する。このことを「ｆは正則である」と表現する。正則な一次変換によって２次曲線がどのように変形されるかを 3)の結果を利用して考察せよ。（ヒント：変換後の座標を成分とする v に相当するベクトルを定義し、転置行列の概念も利用して変換後の曲線の式を、行列を使って表現する。行列Ｐ等が整式の係数に相当することに注意。）

6)

A)で求めた分類は正則一次変換に対して不変（つまり、放物線に正則一次変換を施してもやはり放物線etc.）であることを示せ。（ヒント：まず「少数の例外」について一次変換の幾何学的性質を使って証明し、残りは4)の結果を使う。）