Next: 直交曲線座標での成分展開結果のまとめ Up: 連続体力学のためのベクトル解析 Previous: ベクトルの移流

微小歪

歪を定義するのはなかなか難しい。教科書でよく使われている定義では曲線座標でどうなるかがわかりにくい。ここでは応用が利きやすい、しかし直感とも結びつく形に歪を定義し直すことから始める。

歪というのは、物体の変形の度合いを示すものである。変形が起る場合には、必ずどこかで「伸び縮み」が起っている筈である。そこで、物体の中の任意の位置にある微小線分の長さがどの程度変化（伸び縮み）しているかということを考える。

変形前に微小線分の一端が $\hbox{\rm\bf x} = (x_1,x_2,x_3)$ にあり、もう一端が $\hbox{\rm\bf x}+\hbox{\rm\bf d} = (x_1+d_1,x_2+d_2,x_3+d_3)$ にあるものとする。変形によって、各点が $\hbox{\rm\bf v}(\hbox{\rm\bf x}) = (v_1(\hbox{\rm\bf x}),v_2(\hbox{\rm\bf x}),v_3(\hbox{\rm\bf x}))$ だけ変位したものとすると、 $\hbox{\rm\bf x}$ にあった点は $\hbox{\rm\bf x}+\hbox{\rm\bf v}(\hbox{\rm\bf x})$ へ、 $\hbox{\rm\bf x}+\hbox{\rm\bf d}$ にあった点は $\hbox{\rm\bf x}+\hbox{\rm\bf d}+\hbox{\rm\bf v}(\hbox{\rm\bf x}+\hbox{\rm\bf d})$ へ移動する。微小線分の長さと方向をベクトルで表すと、変形前は $\hbox{\rm\bf d}$ 、変形後は $\hbox{\rm\bf d}+\hbox{\rm\bf v}(\hbox{\rm\bf x}+\hbox{\rm\bf d})-\hbox{\rm\bf v}(\hbox{\rm\bf x})$ となる。

ここで、 $\hbox{\rm\bf v}(\hbox{\rm\bf x}+\hbox{\rm\bf d})-\hbox{\rm\bf v}(\hbox{\rm\bf x})$ という量について考えてみると、これはベクトル場 $\hbox{\rm\bf v}(\hbox{\rm\bf x})$ の中で最初 $\hbox{\rm\bf x}$ の位置にいた観測者が $\hbox{\rm\bf x}+\hbox{\rm\bf d}$ にまで移動した時に感じる変化である。これは先に述べた移流に他ならない。結局変形後の微小線分は $\hbox{\rm\bf d}+\mathop{(\hbox{\rm\bf d}\cdot\mathop{\hbox{\rm grad}})}\hbox{\rm\bf v}$ となる。

さて、重要なのは微小線分の長さがどれだけ変化したかである。この変化量を $\delta$ とおくと、

$\begin{displaymath}\delta = \left\vert\hbox{\rm\bf d} + \mathop{(\hbox{\rm\bf d}... ...box{\rm\bf v}\right\vert - \left\vert\hbox{\rm\bf d}\right\vert\end{displaymath}$

となる。計算の便宜上、まず長さの二乗の変化率を考える。

$\begin{eqnarray*}\frac{\left\vert\hbox{\rm\bf d} + \mathop{(\hbox{\rm\bf d}\cdot... ...eft(\frac{\delta}{\left\vert\hbox{\rm\bf d}\right\vert}\right)^2 \end{eqnarray*}$

微小歪を考えているから $\hbox{\rm\bf v}$ は微小量であり $\delta \ll \left\vert\hbox{\rm\bf d}\right\vert$ 、即ち最後の第2項は無視できる。従って、長さの変化率は

$\begin{displaymath}\frac{\delta}{\left\vert\hbox{\rm\bf d}\right\vert} = \frac{... ...\bf d}\right\vert^2} {2\left\vert\hbox{\rm\bf d}\right\vert^2}\end{displaymath}$

右辺を展開するにあたって微小変位 $\hbox{\rm\bf v}$ の二次の項を無視すると、

$\begin{eqnarray*}\frac{\delta}{\left\vert\hbox{\rm\bf d}\right\vert} &=& \frac{... ...tial }{\partial x_m}\left(\frac{v_l}{g_l}\right) d_l d_m \right) \end{eqnarray*}$

さてこの右辺を、ベクトル $\hbox{\rm\bf d}$ を使った次のような行列演算の形（二次形式）で表すことを考える。

$\begin{displaymath}\frac{\delta}{\left\vert\hbox{\rm\bf d}\right\vert} = \frac{... ...t) \left(\begin{array}{c} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{array}\right)\end{displaymath}$

この行列は微小線分の長さの変化率をその方向ベクトル $\frac{\hbox{\rm\bf d}}{\left\vert\hbox{\rm\bf d}\right\vert}$ の関数として与える。これが歪テンソルである。（右辺の係数はe_ijが $\left\vert\hbox{\rm\bf d}\right\vert$ に依存しないように決めたものである。両辺とも無次元量であることにも注意。）

簡単な計算により、非対角成分に関しては対称成分の和 $e_{ij}+e_{ji}(i\not=j)$ に意味があり、e_ijとe_jiにどう分れているかは全く無意味であることがわかる。そこで、 e_ij=e_jiとなるように分けることにする。その結果、次のようになる。

$\begin{displaymath}e_{ij} = \frac{\delta_{ij}}{g_i} \frac{\partial g_i}{\partial... ...ac{\partial }{\partial x_j} \left(\frac{v_i}{g_i}\right)\right)\end{displaymath}$

特に対角成分については

$\begin{displaymath}e_{ii} = \frac{1}{g_i} \frac{\partial v_i}{\partial x_i} + \... ...elta_{il} \frac{v_l}{g_i g_l} \frac{\partial g_i}{\partial x_l}\end{displaymath}$

但し、 $\check\delta_{ij} \mathrel{\mathop=\limits^{\scriptscriptstyle def}}1 - \delta_{ij}$ である。直交直線座標（g_iが全て定数1）のとき、

$\begin{displaymath}e_{ij} = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial v_j}{\partial x_i} + \frac{\partial v_i}{\partial x_j}\right)\end{displaymath}$

となることは容易に示せる。

Ichiro Tamagawa 平成11年9月24日