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ベクトルの移流

一方、ベクトルの移流はそれほど単純ではない。元の場所と流された先とで「局所基底が回っている」ために起る変化も考えねばならないからである。

そこで、先のベクトルの調和微分と同じ手を使うことにする。まず、直交直線座標では、局所基底は至る所一定であるから、安心して「成分別移流」を考えることができる。

歴史的（直感的）定義：
ベクトル場 $\hbox{\rm\bf V}$ とベクトル場 $\hbox{\rm\bf v}$ に対して、直交直線座標での $\hbox{\rm\bf v}$ の成分v_iの各々の $\hbox{\rm\bf V}$ による移流 $\mathop{(\hbox{\rm\bf V}\cdot\mathop{\hbox{\rm grad}})}v_i$ を成分とするベクトル場を $\hbox{\rm\bf v}$ の $\hbox{\rm\bf V}$ による移流と呼び、 $\mathop{(\hbox{\rm\bf V}\cdot\mathop{\hbox{\rm grad}})}\hbox{\rm\bf v}$ と書く。

この定義が座標変換に対して不変であることは別に証明せねばならない。そのためには、この定義で得られるベクトル場が既に（座標変換不変であると）知られている微分演算の組合せで表されることを示せばよい。これがうまくいけば、求まった微分演算の組合せを「どんな座標系でも使える新たな定義」として採用することができる。これは次のようなかなり複雑な表現になる（はっきり言って、これを最初に考案した人は偉いと思う）。

微分演算子による定義：
ベクトル場 $\hbox{\rm\bf V}$ とベクトル場 $\hbox{\rm\bf v}$ に対して、

$\begin{displaymath}\mathop{(\hbox{\rm\bf V}\cdot\mathop{\hbox{\rm grad}})}\hbox{... ...- (\mathop{\hbox{\rm div}}\hbox{\rm\bf V})\hbox{\rm\bf v}\bigr]\end{displaymath}$

と書いて $\hbox{\rm\bf v}$ の $\hbox{\rm\bf V}$ による移流と呼ぶ。

直交曲線座標においてこの定義の右辺を展開して整理すると意外と単純になる。

$\begin{displaymath}\{\mathop{(\hbox{\rm\bf V}\cdot\mathop{\hbox{\rm grad}})}\hbo... ...l} - \frac{V_l v_l}{g_i g_l} \frac{\partial g_l}{\partial x_i}\end{displaymath}$

この第1項は $\mathop{(\hbox{\rm\bf V}\cdot\mathop{\hbox{\rm grad}})}v_i$ 即ち「成分別移流」にあたる。残りの第2項と第3項は、実は最初に述べた「局所基底が回っている」効果をうまく表現している。

まず、i = lの時は第2項と第3項が相殺してしまうことから、 $i \not= l$ の場合のみを考えれば良いことがわかる。そこで、座標の値d毎の座標軸でできる、x_ix_l面上の網の一つの網目を考える。これはほぼ長方形であるが、少し歪んでいる。例えばx_i軸に平行する二辺を考えるとその長さはほぼg_idであるが、x_l軸の正の向き側にある辺の方が $\displaystyle\frac{\partial (g_id)}{\partial x_l} d$ だけ長い。そのためx_iを大きくする方に網目一つ移動すると、局所基底が $\displaystyle\frac{1}{g_ld} \frac{\partial (g_id)}{\partial x_l} d$ だけ回る。観測者はこの局所基底の回転に伴うv_lの回転によってv_iの増加と v_lの減少を感じる。このうち後者は回転角の二次微小量となるが、前者は $\displaystyle\frac{v_l}{g_l} \frac{\partial g_i}{\partial x_l} d$ となる。実際には観測者は網目を $\displaystyle\frac{V_i}{g_id}$ 個だけ進むから、これを乗じて第2項が得られる。第3項も同様にしてx_lを大きくする方への移動を考えれば解釈できる。

注：微分幾何学では勾配の概念の一般化として「共変微分」、内積の概念の一般化として「縮約」というものが定義されている。この言葉を使って $\hbox{\rm\bf v}$ の共変微分 $\mathop{\hbox{\rm grad}}\hbox{\rm\bf v}$ （これは「二階混合テンソル」というものになる）と $\hbox{\rm\bf V}$ とを縮約したものを考えると、確かに今定義したベクトル場の移流と一致することが比較的容易に示される。要するに何が言いたいかというと、 $\mathop{(\hbox{\rm\bf V}\cdot\mathop{\hbox{\rm grad}})}\hbox{\rm\bf v}$ という表現もコソコソせずに堂々と使って良いのである。

Ichiro Tamagawa 平成11年9月24日

手動によるHREF追加 by TODA, Takashi at 2000年2月11日