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極座標での表現

極座標についても同様に求まる。なお、冒頭で述べたように二通りの極座標があるが、ここでは(3)の方に基づく公式を出しておく。式中の複号は全て上の方を採用して貰いたい。(4)の極座標を用いる場合は、複号の下の方を採用したうえ、 $\theta\rightarrow\phi$ 、 $\sin\leftrightarrow\cos$ 、 $\tan\leftrightarrow\cot$ という置換えをして貰いたい。

$\begin{eqnarray*}(\mathop{\hbox{\rm grad}}f)_r &=& \frac{\partial f}{\partial r}... ...da &=& \frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial f}{\partial \lambda} \end{eqnarray*}$

$\begin{displaymath}\mathop{\hbox{\rm div}}\hbox{\rm\bf v} = \frac{1}{r^2} \frac... ...rac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial v_\lambda}{\partial \lambda}\end{displaymath}$

$\begin{eqnarray*}\pm(\mathop{\hbox{\rm rot}}\hbox{\rm\bf v})_r &=& \frac{1}{r\si... ... (r v_\theta) - \frac{1}{r} \frac{\partial v_r}{\partial \theta} \end{eqnarray*}$

$\begin{displaymath}\Delta f = \frac{1}{r^2} \frac{\partial }{\partial r} \left(... ...c{1}{r^2 \sin^2\theta} \frac{\partial ^2 f}{\partial \lambda^2}\end{displaymath}$

$\begin{eqnarray*}(\Delta\hbox{\rm\bf v})_r &=& \Delta v_r - \frac{2v_r}{r^2} - ... ... + \frac{2}{r^2\sin\theta} \frac{\partial v_r}{\partial \lambda} \end{eqnarray*}$

$\begin{displaymath}\mathop{(\hbox{\rm\bf V}\cdot\mathop{\hbox{\rm grad}})}f = V_... ...rac{V_\lambda}{r\sin\theta} \frac{\partial f}{\partial \lambda}\end{displaymath}$

$\begin{eqnarray*}\{\mathop{(\hbox{\rm\bf V}\cdot\mathop{\hbox{\rm grad}})}\hbox{... ...ac{V_\lambda v_r}{r} \pm \frac{V_\lambda v_\theta \cot\theta}{r} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*}e_{rr} &=& \frac{\partial v_r}{\partial r} \\ e_{\theta\theta... ... r \frac{\partial }{\partial r} \left(\frac{v_\lambda}{r}\right) \end{eqnarray*}$

Ichiro Tamagawa 平成11年9月24日